El máximo común divisor (m.c.d.)
El máximo común divisor (m.c.d.) es el mayor número que divide a dos o más números de manera exacta. Aunque existen varios métodos para resolverlo, vamos a hacerlo mediante la descomposición factorial.
Para ello debemos descomponer en factores primos los números y tomar los factores comunes con el menor exponente.
Hallar el máximo común divisor de 24 y 36 – mcd(24,36)
1.- Descomponemos en factores primos.
36 = 22 · 32
24 = 23 · 3
2.- Escogemos los factores que sean comunes con el menor exponente.
24 = 23 · 3
36 = 22 · 32
Tanto el 2 como el 3 son factores comunes a los dos números así que los cogemos.
Ahora hay que mirar el menor exponente posible para cada uno:
El menor exponente para el 2 es 22
El menor exponente para el 3 es 31 (o lo que es lo mismo 3)
3.- Los multiplicamos para hallar el m.c.d.
El m.c.d(24, 36) = 22 · 3 = 12
El mayor número que divide tanto a 24 como a 36 es el 12.
Hallar el máximo común divisor de 72 y 126 – mcd(72,126)
1.- Descomponemos en factores primos.
72 = 22 · 33
126 = 2 · 32 · 7
2.- Escogemos los factores que sean comunes con el menor exponente.
72 = 22 · 33
126 = 2 · 32 · 7
Los factores comunes son el 2 y el 3. Descartamos el 7 porque solamente es divisor de 126.
Ahora hay que mirar el menor exponente posible para cada uno:
El menor exponente para el 2 es 2
El menor exponente para el 3 es 32
3.- Los multiplicamos para hallar el m.c.d.
El m.c.d(72, 126) = 2 · 32 = 18
El mayor número que divide tanto a 72 como a 126 es el 18.
Hallar el máximo común divisor de 150 y 240 – mcd(150,240)
1.- Descomponemos en factores primos.
150 = 2 · 3 · 52
240 = 24 · 3 · 5
2.- Escogemos los factores que sean comunes con el menor exponente.
150 = 2 · 3 · 52
240 = 24 · 3 · 5
El 2, 3 y 5 coinciden como divisores así que cogemos los 3.
Ahora hay que mirar el menor exponente posible para cada uno:
2 –> 2
3 –> 3
5 –> 5
3.- Los multiplicamos para hallar el m.c.d.
El m.c.d(150, 240) = 2 · 3 · 5 = 30
El mayor número que divide tanto a 150 como a 240 es el 30.
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