Descomposición factorial de un número o descomposición en factores primos
La descomposición factorial de un número consiste en escribir dicho número como un producto de factores primos, es decir, transformarlo en una multiplicación de números primos.
El número 8 podemos descomponerlo en la siguiente multiplicación de factores primos: 2 x 2 x 2
2 x 2 x 2 = 8
El número 20 lo podemos descomponer en 2 x 2 x 5
2 x 2 x 5 = 20
El resultado de la descomposición en factores primos es único, es decir, solo hay un resultado posible aunque lo podamos expresar de distintas maneras debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación
2 x 2 x 5 = 2 x 5 x 2 = 5 x 2 x 2
Orden distinto pero siempre los mismo factores primos.
¿Cómo se realiza la descomposición factorial?
Para descomponer en factores primos debemos dividir el número entre sus divisores primos más pequeños hasta que obtengamos el número 1.
Para ello vamos a escribir el número a descomponer en factores primos, dibujamos una línea vertical a su derecha y comenzamos a buscar el número primo más pequeño que le pueda dividir. Cuando lo encontremos, lo escribimos a la derecha de la línea, realizamos la división y en la columna de la izquierda, debajo de la cifra inicial, escribimos el cociente de la división.
Repetiremos este proceso tantas veces como sea necesario hasta que nos encontremos en la columna de la izquierda, la de los cocientes, el número 1. Cuando esto suceda habremos terminado la descomposición en factores primos y la multiplicación de todos los factores de la columna de la derecha serán el resultado.
Descomposición factorial paso a paso con un ejemplo
Queremos descomponer en factores primos el número 36
1.- Escribimos el número 36 y dibujamos una línea vertical a su derecha.
2.- Buscamos el menor número primo que divida al 36 y para ello nos vendrá muy bien tener en cuenta los criterios de divisibilidad. El menor número primo es el 2 así que habría que comprobar si 36 es divisible por 2. ¿Lo es? Sí, por tanto escribimos el 2 a la derecha de la línea.
3.- Realizamos la división de 36 entre 2 y escribimos el cociente en la columna de la izquierda. En este caso el cociente de la división 36 / 2 es 18.
4.- Como en la columna de la izquierda no tenemos el número 1 tenemos que seguir realizando divisiones por números primos hasta que lleguemos a 1. En este caso el número a dividir es 18, buscamos entre los números primos de menor a mayor un número que divida a 18 y el primero, el 2, ya cumple esa condición. Así que escribimos el 2.
5.- Realizamos la división 18 / 2 y el cociente nos da 9. Escribimos el 9 en la columna de la izquierda.
6.- Debemos seguir realizando divisiones al no haber llegado al 1, así que hay que dividir 9 entre el menor número primo posible. 9 no es divisible por 2 al no ser número par, el siguiente número primo es el 3 y efectivamente 9 es divisible por 3, así que ponemos el 3 en la columna de la derecha.
7.- Realizamos la división 9 / 3 y escribimos el resultado en la columna de la izquierda.
8.- Aun no tenemos el número 1 así que continua la búsqueda. Ahora en número de la izquierda es el 3, que es número primo, así que solo lo podemos dividir por sí mismo.
9.- Realizamos la división y por fin obtenemos el 1 como cociente así que lo escribimos en la columna de la izquierda y finalizamos el proceso.
La multiplicación de los números primos obtenidos en la columna de la derecha es la descomposición factorial del número 36. Vamos a escribirlo:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
que expresando en forma de potencias sería
36 = 22 x 32
Vamos a ver otros ejemplos de descomposición factorial para afianzar el concepto. En este caso los vamos a dejar resueltos directamente pero podéis seguir los pasos del ejemplo anterior para seguir el proceso de inicio a fin.
Descomponer en factores primos el número 100
Descomponemos el número 100 en factores primos siguiendo los pasos que hemos visto más arriba y la tabla nos quedaría así:
Por tanto los factores primos son 2, 2, 5 y 5, los números de la columna de la derecha. Para obtener el resultado debemos multiplicarlos.
La descomposición en factores de 100 es:
100 = 2 x 2 x 5 x 5
o expresado en forma de potencia
100 = 22 x 52
Descomponer en factores primos el número 126
Descomponemos el 126 en factores primos como ya sabemos hacer
126 = 2 x 3 x 3 x 7
en forma de potencia
126 = 2 x 32 x 7
Si quieres puedes continuar con los siguientes ejercicios resueltos de descomposición factorial
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